La Ley de los grandes números

Omar Marroquín Pacheco

En teoría de la probabilidad, la ley de los grandes números es un teorema que
establece que el promedio de una sucesión de variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas tenderá a su valor esperado conforme aumenta el número
de ensayos.

En otras palabras, la ley de los grandes números dice que si repetimos un experimento
aleatorio un gran número de veces, el promedio de los resultados obtenidos se
acercará al valor esperado de ese experimento.

Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire 100 veces, la probabilidad de que salga
cara es de 50%. Según la ley de los grandes números, el promedio de los resultados
obtenidos en las 100 tiradas se acercará a 50. En otras palabras, es probable que
salgan 50 caras y 50 sellos.

La ley de los grandes números tiene muchas aplicaciones en la estadística, la
economía y la ciencia. Por ejemplo, se utiliza para calcular intervalos de confianza,
estimar parámetros poblacionales y realizar pruebas de hipótesis.
Ejemplos
● Supongamos que lanzamos una moneda al aire 100 veces. La probabilidad de
que salga cara es de 50%. Según la ley de los grandes números, el promedio de
los resultados obtenidos en las 100 tiradas se acercará a 50. En otras palabras,
es probable que salgan 50 caras y 50 sellos.
● Supongamos que tenemos una urna con 100 bolas, de las cuales 50 son rojas y
50 son azules. Si sacamos una bola al azar 100 veces, la probabilidad de que
salga una bola roja es de 50%. Según la ley de los grandes números, el
promedio de los resultados obtenidos en las 100 extracciones se acercará a 50.
En otras palabras, es probable que salgan 50 bolas rojas y 50 bolas azules.
● Supongamos que tenemos una población de 100 personas, de las cuales 50 son
hombres y 50 son mujeres. Si seleccionamos a una persona al azar 100 veces,
la probabilidad de que sea un hombre es de 50%. Según la ley de los grandes
números, el promedio de los resultados obtenidos en las 100 selecciones se
acercará a 50. En otras palabras, es probable que salgan 50 hombres y 50
mujeres.
Limitaciones
La ley de los grandes números no es una garantía de que el promedio de una sucesión

de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas sea igual a su valor
esperado. En algunos casos, el promedio puede desviarse significativamente del valor
esperado, incluso si el número de ensayos es muy grande.
Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire 1000 veces, la probabilidad de que salga
cara es de 50%. Sin embargo, es posible que salgan más de 500 caras o menos de
500 caras.
Aplicaciones
La ley de los grandes números tiene muchas aplicaciones en la estadística, la
economía y la ciencia. Por ejemplo, se utiliza para:
● Calcular intervalos de confianza
● Estimar parámetros poblacionales
● Realizar pruebas de hipótesis
● Predecir tendencias
● Evaluar la precisión de los modelos estadísticos
En general, la ley de los grandes números es una herramienta poderosa que se puede
utilizar para sacar conclusiones sobre una población a partir de una muestra.